Riemann hypothesis

The Riemann hypothesis is the conjecture that the non-trivial zeros of the Riemann zeta function all have real part 1/2, so they lie on the critical line. The article says it is one of the most important unsolved problems in pure mathematics and that there is strong numerical evidence but no proof.

It is tied to the distribution of prime numbers through Riemann’s explicit formula. The text also says it has many equivalent statements and consequences, including bounds for prime-counting errors, growth of arithmetic functions, and analogues for other zeta and L-functions.

Fichamento

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• Conjectura que todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann têm parte real igual a 1/2.
• Os zeros triviais ocorrem nos inteiros pares negativos.
• É descrita como um dos problemas em aberto mais importantes da matemática pura.
• Interessa à teoria dos números porque implica resultados sobre a distribuição dos números primos.
• O enunciado foi proposto por Bernhard Riemann.
• Há forte evidência numérica a favor, mas nenhuma prova conhecida.
• A hipótese é equivalente a várias afirmações sobre a função zeta, funções aritméticas e a sequência de Farey.
• O artigo liga a hipótese a limites para o erro na função contadora de primos e à função de Mertens.
• Também relaciona a hipótese a critérios analíticos como Riesz, Nyman-Beurling, Salem, Weil, Li e Speiser.
• O texto registra consequências para lacunas entre primos e para o comportamento de funções como μ, σ e φ.
• A hipótese tem generalizações para funções L de Dirichlet, funções zeta de corpos de números e outros contextos.
• Há analogias provadas em campos finitos, curvas, grafos, funções de Selberg e funções de Ihara.
• O comportamento dos zeros na linha crítica é comparado a matrizes hermitianas aleatórias e a ideias de caos quântico.
• O artigo também reúne verificações numéricas e resultados parciais sobre zeros na linha crítica.