O que significa "fundamentar a aritmética"

Dizer que cinco axiomas “fundamentam a aritmética” é dizer algo preciso: que toda verdade sobre os números naturais deveria seguir desses axiomas mais a lógica, e que os axiomas determinam de que objeto se está falando. Os axiomas de Peano fixam o papel de um elemento inicial e de uma operação de sucessor; não dizem o que o 0, o 1, o 2 são. Qualquer estrutura que satisfaça essas regras conta como um modelo.

Na versão de segunda ordem dos axiomas, quando a indução quantifica sobre todos os subconjuntos, o sistema é categórico: Dedekind provou em 1888 que dois modelos quaisquer são isomorfos (Stanford Encyclopedia of Philosophy, “Dedekind’s Contributions to the Foundations of Mathematics”). A menos de isomorfismo, há um único modelo. É o sentido forte de “fundamentar”: os axiomas fixam a estrutura dos naturais por inteiro.

Em primeira ordem o quadro muda. A aritmética de primeira ordem não é categórica. Pelo teorema de Löwenheim-Skolem (Wikipedia, “Peano axioms”) existem modelos não-padrão, de todas as cardinalidades infinitas, que satisfazem os mesmos axiomas sem ser os números naturais usuais; Skolem construiu um explicitamente em 1933 (idem). E por Gödel (1931), nenhum sistema consistente desse tipo demonstra todas as verdades aritméticas, nem a própria consistência (incompletude e consistência).

Na leitura estrutural, a aritmética trata de relações entre posições numa sequência gerada pelo sucessor. É a tese que Russell formulou em “Recent Work on the Principles of Mathematics” (1901), ao escrever que na matemática “nunca sabemos do que estamos falando, nem se o que dizemos é verdadeiro” (nota). A verdade está na estrutura das relações, não nos referentes que elas poderiam ter. Os axiomas de Peano caracterizam essa estrutura por meio do 0, do sucessor e da indução, e objetos diferentes podem satisfazê-la.